Vers un enseignement efficace et explicite de la résolution de
problèmes
D'une banque de ressources à une
communauté apprenante...
Notre objectif principal va être de nous questionner quant aux points d'attention et à la multiplicité des
leviers d'efficacité qui permettent de rendre l'apprentissage de la résolution de problèmes plus explicite
pour l'enseignant et plus explicite comme plus efficace pour l'élève.
Le guide « La résolution de problèmes
mathématiques au collège » nous apporte déjà de nombreux éclairages. D'autant qu'il fait suite aux
deux autres guides essentiellement destinés à l'école et aux apprentissages premiers quant à la
représentation et à la modélisation.
Pour ne pas être redondant, à côté de ces apports plus théoriques, nous allons proposer, expérimenter et
partager des pistes de mises en pratique. En lieu de réponses à la question « Pourquoi »,
objectifs à la base du guide, nous nous concentrerons sur le « Comment ».
- Comment accompagner à la modélisation en introduisant la représentation en barres et en permettre la découverte à un public qui ne l'aurait jamais rencontrée ?
- Comment envisager une progressivité d'enseignement ?
- Comment employer régulièrement la résolution de problèmes en l'intégrant à la découverte de nouvelles notions ?
- Comment différencier auprès d'un public varié en termes de culture de résolution de problèmes ?
- Comment créer efficacement des représentations en barres et des visuels pertinents ?
- Comment recourir ou non à l'usage de matériel pour accompagner la phase de manipulation ?
Nos propositions se déclineront sous différentes formes et en suivant différents axes : une sélection de
problèmes immédiatement utilisables d'une part et quelques vidéos venant apporter des éclairages sur
certains points cruciaux d'autre part. Ainsi, en parallèle d'une sélection de situations de résolution de
problèmes classées par thèmes mathématiques et par niveau, quelques capsules viendront apporter des conseils
et mettre l'accent sur des points de vigilance particuliers.
Par ailleurs, ces situations ont été expérimentées au travers de séances ou de séquences. Les scenarii
employés seront proposés accompagnés des retours des expérimentateurs : traces écrites envisagées, activité
des élèves, erreurs fréquentes, améliorations possibles, points de vigilance à surveiller, prolongements en
autonomie...
Un partage d'expérience qui a vocation à être mutualisé et enrichi. Vos
contributions par des retours d'expériences, des observations, des adaptations, des améliorations ou des
créations personnelles sont les bienvenues.
Partageons, enrichissons et créons notre communauté apprenante autour d'un thème commun, la résolution de
problèmes.
Des conseils
Pour aider à la prise en main de la modélisation en barres et à son enseignement auprès d'un public aux
parcours variés et aux expériences disparates avec cette forme de représentation, nous allons, au fil de
quelques diaporamas commentés et sonorisés, proposer quelques pistes ciblées : l'introduction de la
représentation en barres, la logistique autour de la création
pratique de ces représentations et l'adaptation à des publics variés tant en termes
d'expériences antérieures que de profils d'apprentissage.
Des situations
Pour répondre aux multiples questionnements du « Comment », nous vous proposons dans ce qui va suivre un
ensemble organisé de situations entrant dans le cadre de la résolution de problèmes.
Ces exemples ont été arrangés selon deux critères : le niveau auquel ils
peuvent être proposés (6ème / 5ème / 4ème / 3ème) et la notion mathématique qu'ils
permettent de découvrir ou de mobiliser. À l'intérieur même de chaque entrée, une volonté d'offrir une
certaine progressivité est présente. Elle se traduit par la classification des situations selon
quatre degrés : découvrir, entraîner, automatiser, approfondir.
Enfin, l'énumération de ces exemples sera l'occasion de suggérer des évolutions et des adaptations ou de
jouer sur certaines variables didactiques pour en accroître l'efficacité et la pertinence quels que soient
les profils des différents publics auxquels ils seront proposés.
Une entrée par année : 6ème / 5ème / 4ème / 3ème
Une entrée par notion : Arithmétique / Fractions & proportions / Pensée
algébrique
Des séances / Des séquences
Enfin, nous vous présentons quelques scénarii possibles de séances ou de séquences. Ils sont contextualisés,
ont été expérimentés et de multiples conseils, retours a posteriori, viennent les éclairer et les enrichir.
Les notions :
ARITHMÉTIQUE
Dans cette première partie, nous avons regroupé un ensemble de situations de type « arithmétique
».
Des
problèmes multiplement expérimentés et employés pour comme pour permettre, même pour des élèves de
collège,
de
découvrir .
En parallèle d’un regroupement par niveau de difficulté soit de par l’obstacle de la
modélisation,
du
contexte ou de la formulation de l’énoncé, une autre classification est proposée. Non une
classification
pour l’enseignement, car chercher à classer des problèmes n’est pas un objectif du travail à
mener
en
classe
mais une classification pour nous aider, nous enseignants, à structurer l’enseignement de la
résolution
de
problèmes dans nos classes, en proposant un inventaire organisé de catégories de problèmes à
traiter.
Cette classification supplémentaire des problèmes, fortement inspirée des travaux de la
didacticienne
des mathématiques, Catherine Houdement, est tirée du guide « La résolution de problèmes
Mathématiques au
cours moyen ».
La résolution de problèmes mathématiques au Cours Moyen – MEN – 2021
Ainsi, nous avons distingué les problèmes de des problèmes de
à
chacun desquels une représentation en barres spécifique est associée. Par ailleurs a été ajoutée
l’indication de l’élément recherché, la valeur du , la valeur d’une ou
encore
le
dans le cas des
problèmes de
type
multiplicatif.
Le but est que, pour un apprentissage efficace, dans la sélection des situations traitées
avec
nos
élèves, nous proposions bien toute la variété des types de problèmes.
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| Recherche du |
Recherche d'une |
Recherche du |
Recherche d'une |
Recherche du |
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Pour chacune des situations, nous vous proposons une à l’aide d’une
. Ces éléments de
correction
doivent permettre d’appréhender plus aisément la phase de modélisation qui est souvent invisible
lors de
la
résolution d’un problème. Ils peuvent être projetés en classe, explicités, pour
rendre l’ensemble le
plus
adapté aux besoins de chacun.
Dans cette optique, à côté des versions vidéos, nous vous offrons les documents source en
version
modifiable. Ces documents ont été produits sous licence libre. La qui autorise l’exploitation de l’œuvre
originale à
des
fins non commerciales, ainsi que la création d’œuvres dérivées, à condition qu’elles soient
distribuées
sous
une licence identique à celle qui régit l’œuvre originale et que l’auteur initial soit cité.
Ces éléments de correction ont aussi été pensés pour, sous forme vidéo, par les élèves ou par des .
Voici quelques scénarii possibles de séances ou de séquences. Ils sont contextualisés, ont été expérimentés et de multiples conseils, retours a posteriori, viennent les éclairer et les enrichir.
En parallèle de séances dédiées à la résolution de problèmes, des peuvent être envisagés. Ils doivent permettre de
tout en
créant
une autour de la .
Nous vous proposons donc quelques exemples de questionnements possibles lors de ces phases
d’automatismes.
Ces exemples ne se veulent en rien exhaustifs. D’autres propositions peuvent bien évidemment
s’envisager.
FRACTIONS & PROPORTIONS
Dans cette deuxième partie, nous allons nous appuyer sur la modélisation en barres et en parallèle la manipulation de réglettes pour accompagner la de la . Les différents registres (partage, proportion, quotient, nombre) sont successivement rencontrés et ces représentations mènent à l’installation d’images mentales résistantes.
Comprendre que \(\frac{2}{3}\) est le nombre qui multiplié par 3
est égal à 2 est loin d’être évident.
Cette définition nécessaire pour la construction des nombres rationnels peine souvent à
prendre sens.
De nouveau et très naturellement au fil de la confrontation aux problèmes qui ont été sélectionnés après expérimentations, le concept de fraction va se construire, s’installer, des vont être et progressivement le calcul fractionnaire va faire sens. Les fractions de fractions mènent aux produits de nombres rationnels tandis que les fractions de quantité conduisent aux quotients de nombres rationnels.
Des représentations en barres en « affichage classe » pour
installer des images mentales
conduisant plus aisément à la mémorisation de faits
numériques et à des automatismes.
En parallèle, des adaptations vous sont proposés pour aborder la notion de comme de . Opérer sur les diagrammes en barres comme on le fait sur les quantités conduit à voir en acte tant le retour à l’unité que les linéarités additives et multiplicatives.
Pour chacune des situations, nous vous proposons une à l’aide d’une
. Ces éléments de
correction
doivent permettre d’appréhender plus aisément la phase de modélisation qui est souvent invisible
lors de
la
résolution d’un problème. Ils peuvent être projetés en classe, explicités, pour
rendre l’ensemble le
plus
adapté aux besoins de chacun.
Dans cette optique, à côté des versions vidéos, nous vous offrons les documents source en
version
modifiable. Ces documents ont été produits sous licence libre. La qui autorise l’exploitation de l’œuvre
originale à
des
fins non commerciales, ainsi que la création d’œuvres dérivées, à condition qu’elles soient
distribuées
sous
une licence identique à celle qui régit l’œuvre originale et que l’auteur initial soit cité.
Ces éléments de correction ont aussi été pensés pour, sous forme vidéo, par les élèves ou par des .
Voici quelques scénarii possibles de séances ou de séquences. Ils sont contextualisés, ont été expérimentés et de multiples conseils, retours a posteriori, viennent les éclairer et les enrichir.
En parallèle de séances dédiées à la résolution de problèmes, des peuvent être envisagés. Ils doivent permettre de
autour du
comme de l'installation des de fraction, de raito et de
proportion. Par ailleurs, ils ont aussi pour but de poursuivre le développement de la culture
commune de la
.
Nous vous proposons donc quelques exemples de questionnements possibles lors de ces phases
d’automatismes.
Ces exemples ne se veulent en rien exhaustifs. D’autres propositions peuvent bien évidemment
s’envisager.
PENSÉE ALGÉBRIQUE
La fréquentation de la résolution de problèmes et l’accompagnement à la modélisation qu’offrent les diagrammes en barres ont conduit à développer une approche pré-algébrique. Ce cheminement et cette pratique mène naturellement, en prolongement de la résolution de problèmes arithmétiques, à l’émergence de la variable algébrique : généraliser des expressions, reconnaître des structures, traduire une situation par une expression algébrique. Dans cette dernière partie nous allons donc proposer des situations qui vont, par des aller-retour aussi fréquents que nécessaires, permettre de construire un développement robuste de la pensée algébrique tout en développant des compétences de calcul littéral basées sur du sens : réduction d’écritures littérales, transformations d’écritures basées sur la distributivité…
« Léa et Ali ont choisi un nombre entier positif. Léa le multiplie
par 5 et ajoute 35. Ali le multiplie par 2 et ajoute 146.
Ils trouvent le même nombre à
la fin. Quel nombre ont-ils choisi ? »
Un même problème pour deux traitements totalement équivalents mais dont l’un éclaire quand aux des opérations menées. Le passage vers le langage symbolique devient alors naturel.
Vont ainsi coexister écritures symboliques et représentations en barres pour offrir aux élèves en difficultés d’écriture symbolique ou en difficultés de lecture d’énoncé écrit d’oraliser à partir d’un registre visuel. La force de ces représentations et de la manipulations possible de réglettes qui les accompagnent repose notamment sur le fait que des problèmes relevant du même modèle de représentation en barres ont la même représentation algébrique. En outre le traitement des inconnues dans le registre des représentations en barres correspond au traitement des inconnues dans le registre algébrique. Le passage du pré-algèbre à l’algèbre se fait naturellement, tout en douceur. Le sens est présent et en conséquence les compétences sont plus robustes.
Voici quelques scénarii possibles de séances ou de séquences. Ils sont contextualisés, ont été expérimentés et de multiples conseils, retours a posteriori, viennent les éclairer et les enrichir.
En parallèle de séances dédiées à la résolution de problèmes, des peuvent être envisagés. Ils doivent permettre de
tout en
créant
une autour de la .
Nous vous proposons donc quelques exemples de questionnements possibles lors de ces phases
d’automatismes.
Ces exemples ne se veulent en rien exhaustifs. D’autres propositions peuvent bien évidemment
s’envisager.